ALTO JORNAL

Alto jornal

Dichoso el que un buen día sale humilde
y se va por la calle, como tantos
días más de su vida, y no lo espera
y, de pronto, ¿qué es esto?, mira a lo alto
y ve, pone el oído al mundo y oye,
anda, y siente subirle entre los pasos
el amor de la tierra, y sigue, y abre
su taller verdadero, y en sus manos
brilla limpio su oficio, y nos lo entrega
de corazón porque ama, y va al trabajo
temblando como un niño que comulga
mas sin caber en el pellejo, y cuando
se ha dado cuenta al fin de lo sencillo
que ha sido todo, ya el jornal ganado,
vuelve a su casa alegre y siente que alguien
empuña su aldabón, y no es en vano.


Conjuros (1958)
Claudio Rodríguez

En las matemáticas hay muchas sorpresas

En las matemáticas hay grandes sorpresas.

¿Es tan exacta la matemática como se piensa? 

Si por exacto entendemos: unívoco, definido, libre de ambigüedad, completo, más bien no. La exactitud de las matemáticas consiste en que define con toda exactitud y precisión todas sus inexactitudes e imprecisiones. Las acepta, las asume y crece sin parar. Conoce sus límites tanto como sus posibilidades. No le teme  a sus límites. Sus límites no la limitan de un modo absoluto. En su lugar, se sirve de ellos para avanzar.

Veamos algunos ejemplos.

0,9999… = 1.

En realidad, 0,9999… y 1, son dos formas distintas de representar el mismo número. Lo mismo ocurriría también, por ejemplo, con 1,99999 = 2. Esto viola muchas de las convenciones de la mente natural. De hecho, aun siendo capaz de entender la demostración, muchas personas no terminan de aceptar con todas sus consecuencias la estricta igualdad de ambas representaciones.

1-1+1-1+1-1… podría ser tanto 0, 1 como 1/2. Y eso no puede ser.

¿Es tan previsible la matemática como se piensa?

He aquí algunos ejemplos.

La ley de los números anómalos de Benford establece que el 1 como primer dígito tiene una probabilidad de aparecer –en una gran cantidad de situaciones estadísticas- mayor que los demás números excluido el 0. Esto es algo enormemente contraintuitivo. De hecho, el descubrimiento de la ley de ocurrencia (log (n+1) – log (n)) de los distintos dígitos surgió de forma puramente casual. Se acepta porque se comprueba una y otra vez su corrección.

También resultó una sorpresa de carácter histórico la posibilidad de construir -por parte de Gödel (1931)- sentencias formalmente indecidibles en Principia Mathematica (Rusell y Whitehead) y sistemas afines. Resultaba que había fórmulas matemáticas que predicaban de sí mismas su propia indemostrabilidad, y, no obstante, eran verdaderas.

Doron Witztum, Eliyahu Rips y Yoav Rosenberg (Statiscal Science, 1994) demostraron que: “when the Book of Genesis is written as two-dimensional arrays, equidistant letter sequences spelling words with related meaning often appear in close proximity… the effect is significant at the level of 0.00002”.

Deberíamos cambiar nuestro modo de aproximarnos a ella así como al modo de transmitirla a las nuevas generaciones.

EL NÚMERO 153

El número más extraño

A veces comienzo una ponencia pidiendo a los participantes que digan cuál es su número favorito. Esto relaja el ambiente y da pie a la conversación.

Muchos de estos números favoritos son previsibles: el 7, el 3 y el 13. Algunos eligen un número que tiene un significado especial, personal: el día del cumpleaños, el número de la calle, o algo por el estilo. Números como 9, 22 o 30. Y siempre hay “chicos jóvenes” entre la megalomanía: cuando alguien dice el número 1000 los demás le siguen y se les llena la boca de números como millones, billones y cuatrillones. Nada de esto me sorprende.

Sin embargo, una vez me sorprendió algo. Una mujer dijo: “Mi número favorito es el 153.” Me pareció una persona seria, de modo que pensé que realmente se refería a ese número. Cuando le pregunté por qué era ése precisamente su número preferido, me dijo que hace muchos años un sacerdote le dijo que el 153 era un número muy especial.

Confieso que en ese momento no se me ocurrió nada. Durante el descanso alguien se acercó a mí para hablarme de esa cifra. Dijo que aparece en la Biblia, y más concretamente porque Pedro pescó exactamente 153 peces.

Esto fue fácil de verificar, de hecho aparece en el Evangelio de Juan, en el capítulo 21: “Simón Pedro tiró de la red y la puso en tierra, estaba llena de peces, ciento cincuenta y tres. Y aunque eran tantos, la red no se rompió.” Es llamativo que se nombre este número aquí tan explícitamente. No tiene relación con otros números importantes de la Biblia, como el 10, 12, 144, 666. Hasta hoy no he encontrado ninguna explicación definitiva al porqué de su aparición en este lugar del texto.

Después empecé a pensar y a calcular, para indagar en la explicación matemática de 153. Lo descompuse en factores: 153 es 9 por 17. Entonces caí en la cuenta de que es un número triangular.

Imagínense que sacan una moneda, de la siguiente manera: usted empieza alineando primero 17 monedas, después pone una fila debajo con 16 monedas, y debajo de ésta otra fila con 15, y así hasta la punta del triángulo, donde hay una sola moneda. La pregunta es la siguiente: ¿cuántas monedas hay en el triángulo?

La respuesta es sencilla: hay que sumar los números 1, 2, 3 hasta 17. Al hacerlo sale el número 153. Así que 153 es el décimo séptimo número triangular. En general estos números se calculan con la siguiente fórmula: (n+1). n/2. Así que para n=17 hay que multiplicar 18 por 17 y dividirlo entre 2, que es lo mismo que 9 por 17. Exactamente la descomposición de 153 que hemos observado antes.

Más tarde encontré algo un poco más estrambótico. Se puede descomponer 153 de otra manera: mirando las cifras por separado, o sea 1, 5 y 3. En algún momento a alguien se le ocurrió la peregrina idea de elevar las cifras por separado a la 3ª potencia, y luego sumar estos resultados. En el caso de 153 el resultado es: 1 ³ = 1, 5³ = 125, 3³= 27. La suma de 1 + 125 + 27 es de nuevo 153. ¡Es único!

Y todavía hay más. Tomemos un número cualquiera, divisible por 3, por ejemplo el 48. Hacemos lo mismo que antes, o sea, la suma de las terceras potencias de cada cifra: 4³ + 8³ = 64 + 512 = 576. Siempre sale un número divisible por 3. Con este número resultante llevamos a cabo el mismo procedimiento, con igual resultado. Miren qué pasa:

5³ + 7³ + 6³ = 125 + 343 + 216 = 684

6³ + 8³ + 4³ = 216 + 512 + 64 = 792

7³ + 9³ + 2³ = 343 + 729 + 8 = 1080

1³ + 0³ + 8³ + 0³ = 1 + 512 = 513

5³ + 1³ + 3³ = 125 + 1 + 27 = 153

             De nuevo llegamos a 153 y nos paramos, obviamente. Es siempre de la misma manera, ¡seguro!

            Por cierto que 153 es también la suma de los cinco primeros factoriales: 1! + 2! + 3! + 4! + 5! = 1 +2 + 6 + 24 + 120 = 153. Todo esto son curiosidades del número 153, que saca del mar de “números anónimos”. Pero ninguna de estas características, ni una sola, explica el asunto de Pedro y los 153 peces.

 Prof. Albrecht Beutelspacher

Publicado en la revista “Bild der Wissenschaft” 8/2009. 
Traducción del alemán: Clara Corral Martínez.

To the Wonder de Terrence Malick

Película no apta para críticos al uso. Tampoco para cualquier forma de filesteismo y vulgaridad. Es un poema cinematográfico (palabra, silencio; música, silencio e imágenes, silencios (fundidos)). Lo mismo que en la literatura hay géneros (novela, poesía, ensayo y... best sellers) también en el cinematógrafo los hay. Y esta es una película del género poético. Poco transitado, por el momento. En este poema cinematográfico todo se mueve, todo danza. Y todos están en busca del absoluto. Pero el absoluto se esconde en el dolor y la tragedia. Duele como la enfermedad, la vejez, la soledad, el abandono, la cárcel  y la muerte. Sólo uno de los personajes no parece estar sordo a este rumor silencioso de lo inaudible: el sacerdote católico (Javier Bardem). Personaje anacrónico donde los haya, porque dice - además en castellano- todo lo que nos repugna. Todo lo que está prohibido decir, pensar o sentir. Malick demuestra, así,  haber llegado a una libertad artística total. Y, quizás, haber sido capaz de oír lo inaudible. Y ha hecho una película, después.

Tres películas

Barbara de Christian Petzold (2012). Mal comparada con La vida de lo otros. Barbara no es maniquea. No presenta la contraposición entre occidente (capitalista) y comunista de forma simple, esto es, entre el bien absoluto, por un lado,  y el mal absoluto, por otro. Es muy sutil. El guión es muy ponderado y equilibrado. Y, si bien, queda claro que el comunismo es una cárcel insufrible, también queda claro que el capitalismo no es el paraíso terrenal. El único paraíso es el amor, el encuentro amoroso entre dos seres, que si -por un momento- se miran, se abrazan y se tienen, después de ese fragor, más fuerte que la muerte, se volverán a encontrar ya en la salida, allí donde falta el amor.

Searching for sugar man de Malik Bendjelloul (2012). Es la historia verídica de un hombre único. La demostración de que se puede ser feliz siendo pobre y desconocido, músico y poeta, artista total, en el más absoluto anonimato aun mereciendo el éxito, la fama y la riqueza. Rodriguez está más allá de todo deseo alienante. Probablemente, uno de los 36 seres que en cada generación nos salvan del desastre final.

Blue valentine de Derek Cianfrance (2010). Brutal relato de la degeneración del amor. Genuina, sincera, pensada, apasionada, auténtica. Ryan Gosling y Michelle Williams, insuperables. Es el amor quien nos elige. Es el amor quien nos destruye. Nosotros no elegimos ni la salvación ni la destrucción. Estamos a la intemperie. Pero como el último Heidegger confesó antes de su muerte: sólo un dios puede salvarnos.

El proyecto cognoscitivo de Juan de la Cruz

Resulta intrigante la unanimidad que provoca la obra de san Juan de la Cruz en todo tiempo y lugar. ¿Cómo es posible que después de tantos años su presencia, lejos de diluirse, se afiance? ¿En qué consiste su actualidad permanente? ¿Cuál es la clave que explica su capacidad de diálogo con el hombre contemporáneo?

 ¿Cuál es su secreto?

 Lo que san Juan propone insistentemente es una construcción continua y masiva de esquemas u operaciones intelectuales libres de contenido. Porque es posible encontrar, siempre, una representación más abstracta -más libre de concreción aunque nunca enteramente exenta- que la anterior, capaz de ofrecer, incluso, nuevos matices intelectivos antes inadvertidos. El proceso es inacabable pues sólo cabe concebir (no lograr), y, en el límite, una forma completamente exenta de contenido o vacía.

Hay un puñado de ideas en su "epistemología" que sólo ahora pueden ser reconocidas y valoradas. Cada una requiere un comentario aparte pero antes las vamos a presentar en conjunto.

1) El proceso cognoscitivo es evolutivo y culminante.

2) La cognición tiene una componente social fundamental que se expresa en la relación guía-guiado. Hoy diríamos el  mentor o mediador existencial.

3) La consideración de los errores como fuente de desarrollo.

4) El problema de los límites del conocimiento.

5) La polivalencia de sus recursos operacionales: analógicos, paradójicos, lógico-formales, dialéctico- relativistas, intuitivos o abductivos.

6) La vinculación dinámica entre lo ético y lo estético.

7) La complejidad de la relación mente-materia.

8) La complejidad dialógica entre el pensamiento y su expresión: lo que está más acá-más allá del lenguaje. 

9) La dialéctica entre el conocimiento figurativo y el operativo y su adecuada jerarquía evolutiva.

  

He ahí su secreto, un triángulo: palabra, acción y pensamiento.

Todo aquél que construye su vida sobre estos tres vértices, difícilmente sucumbirá a los embates del tiempo, ni perderá la vigencia, negada a la mayoría de las biografías conocidas.

     ("Dos triángulos son semejantes si los tres lados de uno son respectivamente iguales a los tres lados del otro", dice un teorema).

 ¿Qué es lo que permanece fresco o invariante a pesar de los renuevos, las novedades, los hallazgos y los descubrimientos?

 Nada que pueda percibirse porque se trata de la raíz armoniosamente dispuesta.

     ("Si dos triángulos son iguales, sus ángulos correspondientes son iguales", dice otro teorema).

Aunque, probablemente, no deberíamos hablar de triángulos sino de triedros de caras transparentes, abiertas al espacio infinito.

Las palabras escritas deben permitir la interpretación y la búsqueda de sentidos nuevos; la posibilidad de ir más allá de la literalidad mediante una reconstrucción activa. Palabras que resuenen en el interior de cada uno para ser escuchadas allí, de nuevo, en sentido propio. Palabras que desencadenen operaciones cognoscitivas cada vez más complejas, de un orden cualitativo cada vez mayor, si se quiere mantener lozana la plurisignificatividad sin sentir el escozor irritante de la incertidumbre proyectada.

No se trata, aquí, de reducir o deshacer la ambigüedad, tampoco de crearla artificiosamente, sino de descender graciosamente a las entrañas del sentido sin mancharlo, alterarlo o apropiárselo.

 De la visita no debe quedar más rastro que el del águila en los aires.

 Pero, ¿no era la cognición, evolutiva y potencialmente culminante? Acaso las formas más avanzadas de pensamiento no necesitan construirse en la relación social asimétrica. Si cada etapa prepara la siguiente, ¿cómo no asumir el carácter creador de los errores de paso cometidos? Señalar los límites nos abre tanto la posibilidad de rebasarlos como la de aceptar las limitaciones de nuestro conocimiento presente. ¿En qué momento nos identificaremos con los límites y ya no será posible, entonces, ir más allá de ellos? ¿Qué sensación nos procurará ese instante en el que ya no será posible ampliar nuestro campo cognoscitivo?

En la casa del pensamiento hay muchas moradas pero con dificultad vemos sus conexiones. Conviven lo lógico-formal con lo dialéctico, lo analógico con lo paradójico, lo estético con lo ético, lo abductivo con lo estructural, los procesos materiales y los procesos socio-históricos...Pero, ¿de qué modo?

La inmarcesibilidad de san Juan de la Cruz está en su epistemología, insuficientemente explicitada hasta la fecha, debido, probablemente, a su dificultad o complejidad.

 Su pensamiento es mucho más que dialéctico, es dinámico. Siempre está en movimiento. Por una de esas situaciones engañosas a las que tanto nos cuesta sustraernos, se confunde dramáticamente estos dos conceptos, cuando la dialéctica es sólo una de las expresiones del dinamismo radical del pensamiento en acción. Hay otras formas de expresión del dinamismo cognoscente que no tienen por qué reducirse a la dialéctica y menos si ésta es de corte hegeliana.

En san Juan de la Cruz la búsqueda de oposiciones es constante. Nunca se preconiza, sin embargo, la síntesis como estado culminante, sino el trascendimiento de un estado inferior en otro superior, mediante la negación del primero en cuanto modo de conocer relativamente imperfecto con respecto al segundo. Así ocurre con el conocimiento figurativo y el operativo.

Si bien se aspira a un conocimiento de lo absoluto, el conocimiento, en sí mismo, no es lo absoluto, puesto que es una actividad que siempre tendrá un carácter incierto. La incertidumbre es aceptada, así, como característica constitutiva de todo proceso cognoscitivo. ¿Cómo, pues, mediante lo incierto puede alcanzarse la certeza absoluta? Si es  que fuera posible tal cosa, nunca lo sería de una vez por todas. Tan sólo el continuo vaciarse, la renuncia constante a aceptar una última versión de lo conocido impedirá que caigamos en la ilusión de la culminación absoluta: bien sabía él que los maitines gloriosos tan sólo se alcanzan después de morir. No hay más meta que la muerte en cuanto principio del reposo absoluto. Quien aspire a lo más alto debe estar siempre en vuelo, sin dejar, además, rastro alguno de su vuelo ni a sí mismo ni a otros. Cada vuelo tiene la propiedad de lo único, irrepetible y virginal.

Psicología evolutiva post mortem

Pim van Lommel et al. (2001) publicaron en The Lancet (Near-death experience in survivors of cardiac arrest: a prospective study in the Netherlands) un estudio longitudinal en el que participaron personas que habían sobrevivido a una parada cardiorrespiratoria y que habían tenido que ser reanimados. (Por cada 100 pacientes que padecen un episodio de este tipo y que logran “volver a la vida” 200 mueren.) Durante un cierto número de minutos los supervivientes estuvieron inconscientes y sin  que su cerebro recibiera sangre ni, por tanto, oxígeno. Lo que supone ausencia de actividad cerebral. (Cuando se ha podido medir la actividad eléctrica del cerebro, el EEG está plano.) Un 18 % de ellos, no obstante, recordaban haber tenido experiencias conscientes durante ese lapso de tiempo. Esta experiencia se caracterizaba por una sensación desconocida, hasta ese momento, de paz y armonía. Otra de las características más destacables es que estas personas perdieron el miedo a la muerte.  Podemos decir, que percibieron en qué consiste la muerte y dejaron de temerla.

Puesto que la gran mayoría no experimentaron ningún estado consciente, ni recordaban nada de ese periodo los investigadores hicieron un grupo experimental (35) con aquellos que lo experimentaron y un grupo de control (39) con parte de los que no lo experimentaron. Igualaron a los dos grupos –experimental y control-  en un conjunto de variables (edad, sexo, duración del paro cardiaco, duración del estado de inconsciencia.) Y los entrevistaron a los 2 y a los 8 años de haber sufrido el episodio cardiaco.

No voy a entrar en si la experiencia conocida como ECM (experiencia cercana a la muerte) es real o no lo es. (El investigador principal cree que sí lo es.) Tampoco voy a entrar en cuáles pueden ser las causas que explican esta experiencia subjetiva de muerte y de vuelta a la vida. Lo que sí digo es que las personas que han pasado por ella la creen real. Y que no hay delirio ni fraude. Y que supone un cambio psicológico duradero a lo largo del tiempo. Las personas de los dos grupos cambian. Pero las del grupo experimental lo hacen de un modo muy profundo y particular. A mí me interesa el aspecto evolutivo de este fenómeno, por otra parte, fascinante, sea objetivo o solo subjetivo.

(Lo más chocante de todo es que haya experiencias conscientes en ausencia de actividad cerebral. Pero eso, como digo, lo dejamos de  lado.)

¿En qué cambiaban o cómo afectaba a las personas con una ECM esta experiencia? Los dos grupos diferían, de un modo estadísticamente significativo, en: expresión de las emociones, aceptación de lo otros, empatía, comprensión de los otros, atención a la familia (actitudes sociales); atribución de un sentido a la vida, intereses espirituales (actitud religiosa); aumento de la creencia en la vida después de la muerte y disminución del miedo a la muerte (actitud hacia la muerte) y, por último, aprecio por la cosas cotidianas, comprensión de uno mismo e interés en el sentido de la vida. Estas diferencias eran observables a los 2 años del ataque cardiaco. Siempre a favor del grupo experimental

¿Qué ocurría a los 8 años?  Todas las personas de ambos grupos habían evolucionado de un modo positivo. Se podía apreciar un desarrollo claro de la conciencia personal, social y espiritual en todos los participantes. Sin embargo, se observaba que el grupo que había tenido una ECM mantenía la superioridad o se acentuaba en expresión de las emociones, aceptación de los otros, empatía e implicación familiar (actitudes sociales). En comprensión de los otros, ambos grupos se habían llegado a igualar hacia arriba. Por lo que respecta a la aceptación de que la vida tiene que tener un propósito, ahora, 8 años después, el grupo control, por el contrario, superaba al grupo experimental. No obstante, los intereses espirituales habían crecido todavía más en el grupo experimental mientras que en el grupo de control se habían desplomado. El miedo a la muerte descendía en ambos grupos pero de un modo más acentuado en aquellos que habían pasado por la ECM. La creencia en la vida después de la muerte era superior en el grupo experimental. Por otra parte, en ambos grupos habían crecido la comprensión de uno mismo y la apreciación de las cosas de la vida cotidiana pero los del grupo experimental seguían siendo más sensibles a estos aspectos que los del grupo de control.

Habría que explicar el motivo por el que las personas que tienen una ECM evolucionan del modo en que lo hacen. ¿Qué hay en esa experiencia que, por otra parte, dura tan poco, capaz de producir cambios profundos y duraderos en actitudes y creencias fundamentales?

La muerte es junto con el nacimiento la vivencia más radical que puede padecerse. A la muerte se le teme. Y estas personas pierden el miedo a morir: a los 2 años un 47 % dice haber perdido el miedo a morir.  A los 8 años es un 63%. Las personas del grupo control que se encuentran en esta situación suponen el 16 % (a los 2 años) y el 41% a los 8 años.

El interés por los valores espirituales crece hasta un 42% a los 8 años en el grupo experimental mientras que en el grupo control desciende un 41% a los 8 años del episodio cardiaco.

La ECM parece remover tendencias, actitudes, valores o creencias muy firmemente asentadas. Creo que hoy día nadie es capaz de explicar ni esta experiencia ni los cambios que conlleva.

Pim van Lommel en su libro Consciencia (2007/2012) recapitula en un elaborado capítulo su estudio de 2001:

“Sorprendentemente, transcurridos dos y ocho años, los pacientes relataban su ECM casi con las mismas palabras, hasta el último detalle. Esto es casi imposible en el caso de un sueño o de una invención”

“Otro hallazgo sorprendente fue que las personas con una ECM muy intensa, tenían más probabilidades (p ≤ 0.0001) de morir en los treinta días siguientes a su parada cardíaca, aunque en términos médicos no se diferenciaran del resto de los pacientes.”

En este estudio se aludió a todos los componentes de la ECM conocidos:  consciencia de estar muerto, emociones positivas, experiencia extracorpórea, viaje a través de un túnel, comunicación con la “luz”, percepción de colores, percepción de un paisaje “celestial”, encuentro con amigos y familiares difuntos, retrospección vital y presencia de una frontera.

“No identificamos diferencias significativas en la duración de la parada cardiaca, ninguna diferencia en la duración del periodo de inconsciencia (…) fuimos incapaces de establecer diferencias entre los pacientes con un paro cardiaco muy prolongado y aquellos con uno muy breve. El nivel de gravedad de la deficiencia de oxígeno en el cerebro parecía ser irrelevante.”

“Los efectos transformativos de por vida que ejerce una experiencia de apenas unos cuantos minutos no dejan de ser un hallazgo tan sorprendente como inesperado.”

Van Lommel (2012) reconoce que su estudio no puede explicar por qué algunas personas, pero no la mayoría, experimenta una conciencia lúcida y agudizada cuando no hay signos de funcionamiento cerebral durante una parada cardíaca. Pero él se inclina por la hipótesis de la DMT: “El hecho de que la dimetiltriptamina (DMT), que se encuentra de forma natural en el cuerpo, pueda intervenir en la experiencia de conciencia expandida durante las ECM es una hipótesis nueva y sorprendente. Tal vez la liberación de DTM, impulsada o estimulada por determinadas circunstancias en nuestra consciencia, disipe las inhibiciones naturales de nuestro cuerpo para experimentar una conciencia expandida, como si fuera capaz de bloquear o interrumpir la interrelación ente la conciencia y nuestro cuerpo (el cerebro). En este punto se debe hacer mención al hecho de que el zinc es esencial para la síntesis de la serotonina y de sustancias relacionadas como la DMT. A una edad avanzada, el cuerpo almacena menores niveles de este metal, y, como se ha dicho anteriormente, los relatos de ECM son menos comunes a esa edad.”